1. Himpunan dan
Bilangan
Himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlahberguna. Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
Himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlahberguna. Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.
Macam-macam Himpunan :
1.
Himpunan
Bilangan Asli
Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan
yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.
N {1,2,3,4,5,6,……}
2.
Himpunan
bilangan prima
Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan
asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.
P =
{2,3,5,7,11,13,....}
3.
Himpunan bilangan cacah
Himpunan
bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan
bilangan bulat positif digabung dengan nol.
C =
{0,1,2,3,4,5,6,....}
4. Himpunan bilangan bulat
Himpunan
bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh
bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.
B =
{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
5. Himpunan bilangan rasional
Himpunan
bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan
bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
p/q
dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal
berulang.
6. Himpunan Bilangan Irasional
Himpunan
bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat
dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu
desimal berulang.
contoh: log 2, e, Ö7
7. Himpunan bilangan Ril
Himpunan
bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari
himpunan bilangan rasional dan irasional.
8. Himpunan bilangan imajiner
Himpunan
bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i
(satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² =
-1
contoh:
i, 4i, 5i
9. Himpunan bilangan kompleks
Himpunan
bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi)
dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.
contoh:
2-3i, 8+2
Contoh
soal :
1.
Jika K = { k, o, m, p, a, s } dan L
= { m, a, s, u, k }, maka K ∪ L =. . .
a. { p, o, s, u, k, m, a } C. { p, a, k, u, m, i, s }
b. { m, a, s, b, u, k } D. { k, a, m, p, u, s }
Pembahasan
K = { k, o, m, p, a, s }
L = { m, a, s, u, k }
K ∪ L = { k, o, m, p, a, s, u }
Diantara jawaban A, B, C, dan D yang memiliki anggota K = anggota K ∪ L adalah opsi A
Kunci jawaban : A
a. { p, o, s, u, k, m, a } C. { p, a, k, u, m, i, s }
b. { m, a, s, b, u, k } D. { k, a, m, p, u, s }
Pembahasan
K = { k, o, m, p, a, s }
L = { m, a, s, u, k }
K ∪ L = { k, o, m, p, a, s, u }
Diantara jawaban A, B, C, dan D yang memiliki anggota K = anggota K ∪ L adalah opsi A
Kunci jawaban : A
2.
Diberikan P = { 1, 2, 3, 9, 12, 13
}. Himpunan kelipatan 3 yang terdapat di P adalah …
a. { 9 } C. { 3, 9 12 }
b. { 3, 9 } D. { 3, 6, 9, 12 }
Pembahasan
Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda ( objek ) yang telah terdefinisi dengan jelas. Dari soal diatas, himpunan kelipatan 3 yang terdapat di P adalah { 3, 9, 12 }
Kunci Jawaban: C
a. { 9 } C. { 3, 9 12 }
b. { 3, 9 } D. { 3, 6, 9, 12 }
Pembahasan
Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda ( objek ) yang telah terdefinisi dengan jelas. Dari soal diatas, himpunan kelipatan 3 yang terdapat di P adalah { 3, 9, 12 }
Kunci Jawaban: C
3.
Jika A= {0,1} maka n (A) =…
a.
0
c. 2
b.
1
d. 3
Pembahasan
N ( A ) adalah simbol dari kardinalitas atau banyaknya anggota suatu himpunan. Jadi banyaknya anggota suatu himpunan dari himpunan A adalah 2, yaitu 0 dan 1.
Kunci Jawaban: A
N ( A ) adalah simbol dari kardinalitas atau banyaknya anggota suatu himpunan. Jadi banyaknya anggota suatu himpunan dari himpunan A adalah 2, yaitu 0 dan 1.
Kunci Jawaban: A
4.
Dari 143 siswa, 95 siswa senang
matematika, 87 siswa senang fisika, 60 siswa senang keduanya. Banyak siswa yang
tidak senang matematika maupun fisika adalah….
a. 21 orang
b. 27 orang
c. 35 orang
d. 122 orang
Pembahasan
Misal : yang senang matematika adalah A, dan yang senang fisika adalah B, maka:
n ( S ) = n ( A ) + n ( B ) – n ( A ∩ B ) + n ( A ∪ B )c
143 = 95 + 87 – 60 + n ( A ∪ B )c
143 = 122 + n ( A ∪ B )c
n ( A ∪ B )c = 143 – 122
n ( A ∪ B )c = 21
( n ( A ∪ B )c = banyak siswa yang tidak senang matematika maupun fisika)
Jadi, siswa yang tidak senang matematika maupun fisika ada 21 orang.
Jawaban A
a. 21 orang
b. 27 orang
c. 35 orang
d. 122 orang
Pembahasan
Misal : yang senang matematika adalah A, dan yang senang fisika adalah B, maka:
n ( S ) = n ( A ) + n ( B ) – n ( A ∩ B ) + n ( A ∪ B )c
143 = 95 + 87 – 60 + n ( A ∪ B )c
143 = 122 + n ( A ∪ B )c
n ( A ∪ B )c = 143 – 122
n ( A ∪ B )c = 21
( n ( A ∪ B )c = banyak siswa yang tidak senang matematika maupun fisika)
Jadi, siswa yang tidak senang matematika maupun fisika ada 21 orang.
Jawaban A
5. Himpunan Q = { x I 5 ≤ x ≥ 14, x Є bilangan
genap } dapat dinyatakan dengan mendaftar anggota – anggotanya menjadi …
a. { 5,6,7,8,9,10,11,12,13 }
b. { 7,9,11,13 }
c. { 6,8,10,12,14 }
d. { 6,8,10,12 }
e. { 4,6,8,10,12 }
Jawaban : d
Pembahasan :Untuk himpunan Q = { x I 5 ≤ x ≥ 14, x Є bilangan genap }, maka daftar anggotanya
yaitu Q = { 6,8,10,12 }
2. DIAGRAM VENN
Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan
semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup)
benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika,
diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn
untuk menunjukkan hubungan sederhana dalam topik-topik di bidang logika, probabilitas,
statistik,
linguistik
dan ilmu komputer.
3. Hubungan Diagram Venn Dan Himpunan
Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang didefinisikan (diberi batasan) dengan jelas.Istilah kelompok, kumpulan, maupun gugus dalam matematika disebut dengan istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jerman bernama Georg Cantor (1845-1918)Benda yang termasuk dalam himpunan biasa disebut dengan anggota, elemen, atau unsur.
Contoh Kelompok/kumpulan yang merupakan suatu himpunan:
Kelompok hewan berkaki empat. Yang merupakan anggota, misalnya: kerbau, kuda, kambing Yang merupakan bukan anggota, misalnya: ayam, bebek, itik
Contoh Kelompok/kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan:
Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi. Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.
Mengapa disebut begitu?? karena batasan contoh di atas tidak jelas. Di dalam Matematika kumpulan tidak dapat disebut himpunan jika batasannya tidak jelas.Suatu himpunan dinyatakan dengan tiga cara yaitu:
1. Dengan kata-kata
Menyatakan himpunan dengan kata-kata sangat bermanfaat untuk himpunan yang memiliki anggota sangat banyak dan tak beraturan, sehingga kita akan mengalami kesulitan bila anggota-anggotanya ditulis satu persatu
2. Dengan notasi pembentuk himpunan
Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan adalah menyatakan suatu himpunan hanya dengan syarat keanggotaan himpunan
3. Dengan mendaftar anggota-anggotanya
Dengan cara ini, anggota-anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. Pada penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis maka urutan penulisan boleh diabaikan.
Jika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak dan memiliki pola tertentu maka penulisannya dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah titik yang dibaca "dan seterusnya".
Contoh:
A = {bilangan asli}, maka dapat dituliskan sebagai:
A = {1, 2, 3, 4, . . .}.
Akan tetapi jika himpunan itu anggotanya terbatas maka kita menulisnya dengan cara:
P = {bilangan cacah ganjil kurang dari 100}, maka:
P = {1, 3, 5, 7, 9, . . . , 99}.
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan atau himpunan universum. Lambang himpunan semesta adalah S.
Untuk memahami pengertian himpunan semesta perhatikan contoh berikut ini:
S = {murid-murid di sekolahmu},
A = {murid-murid di kelasmu}.
Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A, sehingga himpunan merupakan himpunan semesta dari himpunan A.
Ini adalah diagram venn. Diagram venn adalah cara lain untuk menyatakan suatu himpunan dengan gambar atau diagram. Diagram venn ini pertama kali ditemukan oleh ahli matematika berkebangsaan Inggris yang bernama John Venn (1834-1923).
Ketentuan dalam membuat diagram venn sebagai berikut:
1. Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri diberi simbol S.
2. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi panjang itu, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya.(lihat gambar di atas)
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
3. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tutup sederhana.
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} Karena semua anggota himpunan A dan B termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A dan B di dalam himpunan S.
Yang dimaksud Irisan Himpunan adalah anggota persekutuan antara A dan B (lihat gambar di atas).
Irisan himpunan dari persekutuan A dan B adalah 2, 4, 6, 8.
Sumber :
http://id.wikipedia.org/wiki/Diagram_Venn
Tidak ada komentar:
Posting Komentar