Tugas 1 Himpunan dan Bilangan,Diagran venn dan Hubungannya

1.    Himpunan dan Bilangan

Himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.

Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Macam-macam Himpunan :

1.    Himpunan Bilangan Asli

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

N {1,2,3,4,5,6,……}

2.    Himpunan bilangan prima

Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

P = {2,3,5,7,11,13,....}

3.    Himpunan bilangan cacah

Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

4.    Himpunan bilangan bulat

Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

5.    Himpunan bilangan rasional

Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:

p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

6.    Himpunan Bilangan Irasional

Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

contoh: log 2, e, Ö7

7.    Himpunan bilangan Ril

Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

8.    Himpunan bilangan imajiner

Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1

contoh: i, 4i, 5i

9.    Himpunan bilangan kompleks

Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner.

contoh: 2-3i, 8+2

Contoh soal :

1.      Jika K = { k, o, m, p, a, s } dan L = { m, a, s, u, k }, maka K ∪ L =. . .
a. { p, o, s, u, k, m, a }            C. { p, a, k, u, m, i, s }
b. { m, a, s, b, u, k }                D. { k, a, m, p, u, s }
Pembahasan
K = { k, o, m, p, a, s }
L = { m, a, s, u, k }
K ∪ L = { k, o, m, p, a, s, u }
Diantara jawaban A, B, C, dan D yang memiliki anggota K = anggota K ∪ L adalah opsi A
Kunci jawaban : A

2.      Diberikan P = { 1, 2, 3, 9, 12, 13 }. Himpunan kelipatan 3 yang terdapat di P adalah …
a. { 9 }                                    C. { 3, 9 12 }
b. { 3, 9 }                     D. { 3, 6, 9, 12 }
Pembahasan
Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda ( objek ) yang telah terdefinisi dengan jelas. Dari soal diatas, himpunan kelipatan 3 yang terdapat di P adalah { 3, 9, 12 }
Kunci Jawaban: C

3.      Jika A= {0,1} maka n (A) =…

a.       0                c. 2

b.      1                d. 3

Pembahasan
N ( A ) adalah simbol dari kardinalitas atau banyaknya anggota suatu himpunan. Jadi banyaknya anggota suatu himpunan dari himpunan A adalah 2, yaitu 0 dan 1.
Kunci Jawaban: A

4.      Dari 143 siswa, 95 siswa senang matematika, 87 siswa senang fisika, 60 siswa senang keduanya. Banyak siswa yang tidak senang matematika maupun fisika adalah….
a. 21 orang
b. 27 orang
c. 35 orang
d. 122 orang
Pembahasan
Misal : yang senang matematika adalah A, dan yang senang fisika adalah B, maka:
n ( S ) = n ( A ) + n ( B ) – n ( A ∩ B ) + n ( A ∪ B )c
143 = 95 + 87 – 60 + n ( A ∪ B )c
143 = 122 + n ( A ∪ B )c
n ( A ∪ B )c = 143 – 122
n ( A ∪ B )c = 21
( n ( A ∪ B )c = banyak siswa yang tidak senang matematika maupun fisika)
Jadi, siswa yang tidak senang matematika maupun fisika ada 21 orang.
Jawaban A

5.        Himpunan Q = { x I 5 ≤ x ≥ 14, x Є bilangan genap } dapat dinyatakan dengan mendaftar anggota – anggotanya menjadi …

a.   { 5,6,7,8,9,10,11,12,13 }

b.   { 7,9,11,13 }

c.    { 6,8,10,12,14 }

d.   { 6,8,10,12 }

e.    { 4,6,8,10,12 }

Jawaban : d

Pembahasan :Untuk himpunan Q = { x I 5 ≤ x ≥ 14, x Є bilangan genap }, maka daftar anggotanya

yaitu Q = { 6,8,10,12 }

2. DIAGRAM VENN

Diagram Venn atau diagram set adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis di antara sekelompok (set/himpunan/grup) benda/objek. Sebagai bagian ilmu matematika, diagram Venn ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1880 oleh John Venn untuk menunjukkan hubungan sederhana dalam topik-topik di bidang logika, probabilitas, statistik, linguistik dan ilmu komputer.

3.    Hubungan  Diagram Venn Dan Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang didefinisikan (diberi batasan) dengan jelas.

Istilah kelompok, kumpulan, maupun gugus dalam matematika disebut dengan istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Jerman bernama Georg Cantor (1845-1918)Benda yang termasuk dalam himpunan biasa disebut dengan anggota, elemen, atau unsur.

Contoh Kelompok/kumpulan yang merupakan suatu himpunan:

Kelompok hewan berkaki empat.
Yang merupakan anggota, misalnya: kerbau, kuda, kambing
Yang merupakan bukan anggota, misalnya: ayam, bebek, itik

Contoh Kelompok/kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan:
Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.
Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.

Mengapa disebut begitu?? karena batasan contoh di atas tidak jelas. Di dalam Matematika kumpulan tidak dapat disebut himpunan jika batasannya tidak jelas.Suatu himpunan dinyatakan dengan tiga cara yaitu:

1. Dengan kata-kata

Menyatakan himpunan dengan kata-kata sangat bermanfaat untuk himpunan yang memiliki anggota sangat banyak dan tak beraturan, sehingga kita akan mengalami kesulitan bila anggota-anggotanya ditulis satu persatu

2. Dengan notasi pembentuk himpunan

Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan adalah menyatakan suatu himpunan hanya dengan syarat keanggotaan himpunan

3. Dengan mendaftar anggota-anggotanya
Dengan cara ini, anggota-anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma. Pada penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis maka urutan penulisan boleh diabaikan.
Jika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak dan memiliki pola tertentu maka penulisannya dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah titik yang dibaca "dan seterusnya".

Contoh:
A = {bilangan asli}, maka dapat dituliskan sebagai:
A = {1, 2, 3, 4, . . .}.

Akan tetapi jika himpunan itu anggotanya terbatas maka kita menulisnya dengan cara:
P = {bilangan cacah ganjil kurang dari 100}, maka:
P = {1, 3, 5, 7, 9, . . . , 99}.

Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga semesta pembicaraan atau himpunan universum. Lambang himpunan semesta adalah S.

Untuk memahami pengertian himpunan semesta perhatikan contoh berikut ini:

S = {murid-murid di sekolahmu},
A = {murid-murid di kelasmu}.

Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A, sehingga himpunan merupakan himpunan semesta dari himpunan A.


Ini adalah diagram venn. Diagram venn adalah cara lain untuk menyatakan suatu himpunan dengan gambar atau diagram. Diagram venn ini pertama kali ditemukan oleh ahli matematika berkebangsaan Inggris yang bernama John Venn (1834-1923).

Ketentuan dalam membuat diagram venn sebagai berikut:

1. Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi panjang dan di pojok kiri diberi simbol S.

2. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan sebuah noktah di dalam persegi panjang itu, dan nama anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya.(lihat gambar di atas)
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

3. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan semesta ditunjukkan oleh kurva tutup sederhana.
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Karena semua anggota himpunan A dan B termuat di dalam himpunan S, maka himpunan A dan B di dalam himpunan S.

Yang dimaksud Irisan Himpunan adalah anggota persekutuan antara A dan B (lihat gambar di atas).

Irisan himpunan dari persekutuan A dan B adalah 2, 4, 6, 8.

Sumber :

http://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan_(matematika)

http://matematika14.blogspot.com/2010/01/macam-macam-himpunan-bilangan.html

http://syischayanti.wordpress.com/2013/07/26/soal-dan-jawaban-himpunan/

              http://id.wikipedia.org/wiki/Diagram_Venn

Tugas 2 Fungsi dan Relasi,Perbedaan Fungsi dan Relasi Serta Pengertian Domain, Kodomain, Dan Range

1.     1.     Fungsi Dan Relasi

FUNGSI

dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggotahimpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmukuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

Contoh Soal :
1. Salah satu syarat dari suatu fungsi adalah …
a. Pada himpunan A boleh ada anggota yang tidak berpasangan.
b. Pada himpunan A boleh ada anggota yang berpasangan lebih dari satu.
c. Pada himpunan A tidak boleh ada anggota yang tidak berpasangan.
d. Pada himpunan B tidak boleh ada anggota yang tidak berpasangan.
Jawab: c. Pada himpunan A tidak boleh ada anggota yang tidak berpasangan.

2. Pada fungsi kuadrat untuk menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat x diperoleh dari …
a. Diskriminan persamaannya
b. Akar-akar dari persamaan kuadratnya.
c. Sumbu simetrinya
d. Persamaan kuadratnya.
Jawab: titik potong grafik sumbu x diperoleh dari b. akar-akar persamaan kuadratnya.

RELASI

Dalam teori himpunan, relasi menghubungkan dua buah himpunan dengan suatu hubungan tertentu. Misal ada dua buah himpunan A dan himpunan B sehingga dapat dinyatakan bahwa Relasi dari dua himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

Setiap anggota himpunan A tidak harus mempunyai pasangan di himpunan B.

Misalnya: Lima siswa dengan makanan favoritnya

Ani gemar makan Bakso dan Nasi goreng
  Irfan gemar makan Mie Ayam
 Arman gemar makan Nasi Goreng, dan Coto
 Ahmad gemar makan Ikan bakar
 Ade gemar makan Bakso

Dari penyataan di atas kita dapat menentukan dua himpunan yaitu

A = (Ani, Irfan, Arman, Ahmad, Erwin)

B = (Bakso, Nasi goreng, Mie ayam, Coto, Ikan Bakar)

Dari kedua himpunan di atas dihubungkan dengan relasi himpunan A dan himpunan B yaitu “gemar makan”.

Cara Menyatakan Relasi

Relasi dari dua himpunan A dan himpunan B dapat dinyatakan dengan 3 cara yaitu diagram panah, diagram Cartesius, dan Himpunan pasangan berurutan. Untuk penjelasan ketiga cara ini adalah sebagai berikut:
1. Diagram panah

Cara membuat relasi dengan diagram panah adalah :

Himpunan pertama atau himpunan A diletakkan di sebelah kiri
Himpunan kedua atau himpunan B diletakkan di sebelah kanan
Buatlah anak panah menunjukkan relasi antara himpunan A dengan himpunan B.

Contoh:

2. Diagram Cartesius

Cara membuat relasi dengan diagram Cartesius adalah

Anggota himpunan pertama atau himpunan A diletakkan pada sumbu horizontal
Anggota himpunan kedua atau himpunan B diletakkan pada sumbu vertikal
Buatlah Noktah (∙) yang menunjukkan relasi antara himpunan A dengan himpunan B.Misalnya

Himpunan Pasangan Berurutan

Relasi dari himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan (x, y) jika x ∈ A dan y ∈ B

Cara menyatakan relasi dengan himpunan pasangan berurutan adalah

Pasangan diletakkan di dalam kurung dan dipisahkan oleh koma.
Anggota himpunan pertama atau himpunan A diletakkan pada bagian depan
Anggota himpunan kedua atau himpunan B diletakkan di belakang

Misalnya: Nyatakan himpunan berikut dalam himpunan pasangan berurutan dengan relasi “kurang dari”

Jika A = {1, 2, 3, 4}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

Penyelesaian

1 kurang dari 2, 3, 4, 5

2 kurang dari 3, 4, 5

3 kurang dari 4,5

4 kurang dari 5

maka himpunan pasangan berurutnya adalah:

{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)}

2. Beda Fungsi dan Relasi

Hal pertama yang harus kita ketahui agar bisa membedakan apa itu fungsi dan apa itu relasi, sebelumnya kita harus kenal dulu dengan yang namanya, daeah asal (domain) dan daerah kawan (kodomain).
Misal daerah asal itu adalah himpunan A, dan daerah kawan itu himpunan B, maka sebuah fungsi f dari Himpunan A ke himpunan B bisa kita ibaratkan seperti ini :
Himpunan A adalah himpunan Anak-Anak manusia, dan himpunan B adalah iBu-iBu. Seorang anak pasti dilahirkan dari seorang ibu, tidak ada anak yang tidak punya ibu. Kalo ibu-ibu, mereka bisa punya anak satu, dua, sepuluh bahkan tidak punya anak pun bisa. Diagram panah di bawah ini adalah contoh fungsi :

Sedangkan Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah sebuah aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Kalo diibaratkan himpunan A adalah kucing jantan, dan himpunan B adalah kucing Betina. Saya yakin, tidak ada aturan yang mengikat para kucing. Kucing jantan bebas berhubungan dengan kucing betina apapun, berapapun, begitu juga sebaliknya. Di bawah ini adalah contoh diagram panah menunjukan relasi dari “kucing kawin” :

 Fungsi Domain Kodomain Dan Range

Dibawah ini saya membahas mengenai IAD Matemetika yaitu Fungsi Domain Kodomain dan Range.

Dalam matematika, domain atau ranah suatu fungsi adalah suatu himpunan nilai-nilai "masukan" tempat fungsi tersebut terdefinisi (ada).



Fungsi
Fungsi dari A ke B adalah relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A ke hanya satu anggota himpunan B
Notasi fungsi f dari A ke B ditulis f : A → B
A disebut domain (daerah asal)
B disebut kodomain (daerah kawan)
Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil)
Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x)
dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas).
Contoh :

  

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:
Domain = D_f = {1, 2, 3, 4}
Range = R_f = {2, 4}

 

3. DOMAIN, KODOMAIN, DAN RANGE

Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerah kawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan " setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Note:

Domain, Kodomain, dan Range

a. Domain adalah daerah kawan
b. Kodomain adalah daerah kawan
c. Range adalah daerah hasil dari himpunan bagian  dari kodomain.

SUMBER:

http://aenifarida.wordpress.com/2013/01/09/cara-menyatakan-relasi-dalam-matematika/
Sumber : http://aniandriani.wordpress.com/category/kampus/

http://hilmasol54.wordpress.com/2013/01/21/beda-fungsi-dan-relasi/
 http://irmasusandar.blogspot.com/2013/07/fungsi-domain-kodomain-dan-range.html